... tpar Fie X si Y cimpuri vectoriale in U. Putem descompune D f Y folosind 1.1 sitpar avemtpar tpar 1.2 in fiecare punct xteeU.tpar tpar La fel ca si in teoria clasica a hipersuprafetelor in spatiul Euclidian, putemtpar verifica ca este o conexiune afina invarianta la rotatii in U, h este un cimptpar tensor care defineste o forma simetrica biliniara pe fiecare spatiu tangenttpar TxM.tpar Numim conexiunea afina determinata si h forma afina fundamentala corespunzindtpar luitpar Putem de asemenea descompune D dupa cum urmeazatpar tpar 1.3tpar tpar unde S este un cimp tensor de tipul 1,1, numit operatorul de forma, si este otpar l-forma, numita forma de conexiune transversala.tpar Acum vom defini elementul de volum determinat te9 in U punindtpar tpar 1.4tpar tpar si sperind sa obtinem proprietatea te90. Avemtpar tpar Lema 1.1. pentru fiecare XteeT M.tpar tpar Demonstratie. Avemtpar tpar tpar tpar tpar tpar tpar unde am folosit D 0 si D X .tpar tpar De aici proprietatea 0, adica D este tanget la M , este cruciala. Vomtpar vedea ca in anumite conditii de nedegenerare pe M putem alege cu aceastatpar proprietate si, intr-adevar, cu o proprietate aditionala, care va face alegereatpar sa unica. Pentru acest scop avemtpar tpar Lema 1.2. Daca alegem un alt cimp vectorial transversal , unde 0,tpar atunci pentru obiectele corespunzatoare avemtpar itpar iitpar iiitpar unde h.,Z este o l-forma a carei valoare pe X este hX,Z.tpar tpar Demonstratie. Verificare directa.tpar tpar Din i avem ca h este determinat pina la o functie scalara 0. Intpar particular, daca h este degenerata sau nedegenerata depinde numai de M si nu detpar alegerea lui . Daca h este nedegenerata in fiecare punct, spunem ca M estetpar nedegenerat.tpar tpar Lema 1.3. Fie M nedegenerat. Daca este un cimp vectorial transversal si otpar functie arbitrara scalara 0, atunci exista un cimp vectorial Z pe M in asatpar fel incit pentru forma conexiunii transversale este 0.tpar tpar Demonstratie. Deoarece h este nedegenerata, putem gasi Z in fiecare T M intpar asa fel incittpar hX,Z- X - d Xtpar pentru fiecare XteeT M. Din ii din Lema 1.2 avem 0.tpar tpar Observatie. Daca doua cimpuri vectoriale transversale si sunt in asa feltpar incit si te9te9 , atunci . Defapt, te9te9 implica 1. iii din Lema 1.2tpar implica Z0.tpar tpar Pentru a determina in mod unic pentru M nedegenerat, mai punem inca otpar conditie. Fie elementul de volum asociat cu metrica h Daca tIX ,..., X tS este otpar baza ortonormala orientata in T M pentru metrica nedegenerata h, atunci X ,tpar ..., X 1.tpar Conditia pe care dorim sa o impunem este ca doua elemente de volum te9 sitpar determinate de alegerea lui coincid. Pentru a studia aceasta conditie, definimtpar o functie H dupa cum urmeaza.tpar Alegem o baza tIX ,..., X tS in asa fel ca te9X ,..., X 1 si punemtpar h hX ,X tpar sitpar H determinantul matricii ih s.tpar Este usor de verificat ca H este independent de alegerea lui tIX ,..., X tStpar satisfacind te9X ,..., X 1.tpar tpar Lema 1.4. te9 daca si numai daca valoarea absoluta a lui H este egala cu 1.tpar tpar Demonstratie. Alegem tIX ,..., X tS ca mai sus. Presupunem , 1tf3itf3n,tpar sunt ortonormale fata de h, sa spunem, hX ,X , unde -1 pentru 1tf3itf3p,tpar -1 pentru p1tf3jtf3n.tpar Atunci avemtpar asa incit det A presupunind det A0. Dintpar tpar obtinemtpar tpar Deci , adica ... Download