... te o multime nevida inzestrata cu o lege de compozitie MMM, x, yxyVom presupune in plus ca aceasta lege de compozitie este asociativa si ca admite element neutru, fie acesta e.DefinitieUu element xM se numeste simetrizabil in raport cu legea de . compozitie asociativa si cu element neutru MMM,x,yxy, . daca exista xaM astfel incat. xaxxxae.Sa observam ca daca xaaM satisface ca si xa conditiile xaaxxxaaeatunci xaxaa. Intr-adevar xaxaexaxxaaxaxxaaexaaxaa.Daca xM este simetrizabil, atunci unicul element xaM cu proprietatea xaxxxae se numeste simetricul lui x.In notatia multiplicativa simetricul lui x, in caz ca exista, se noteaza de regula cu xa si se numeste inversul lui x in notatia aditiva se noteaza cu -x si se numeste opusul lui x. Asadar, xaxxxa1,respectiv -xxx-x0.Exemple1.Cum eee, rezulta ca elementul neutru este si simetrizabil si simetricul lui e este tot e. In notatie multiplicativa avem 1a1, iar in notatie aditiva -00.2.Orice numar intreg este simetrizabil in raport cu adunarea numerelor intregi numerele intregi simetrizabile fata de inmultire sunt 1 si 1, 1a1, -1a-1.3.Consultand tabla operatiilor induse pentru compunerea functiilor din FE, unde EI1, 2S, se observa ca eee si ffe, deci functiile e si f sunt simetrizabile inversabile si eae, faf.TeoremaDaca x, y M sunt elemente simetrizabile in raport cu o lege de compozitie MMM,x, yxy asociativa si cu element neutru atunci xy si xa sunt simetrizabile.Mai mult 1 xyayaxa,xaax DemonstratieAvem yaxaxyyaxaxyyaxaxyyaeyyayesi analog xyyaxae. Rezulta ca xy este simetrizabil si xyayaxa. A doua afirmatie este imediata.Proprietatile 1 si 2 din enuntul teoremei precedente se transcriu multiplicativ astfel 1 xyayaxa, 2 xaax,iar in notatia aditiva 1 -xy-y-x, 2 -xx.Se face urmatoarea conventie de notatie Aplicatii.1.Pe multimea Z a numerelor intregi defnim legea de compozitie ZZZ, x, yxyxy-xy,Numita compunerea circulara. Sa se arate ca legea de compozitie este asociativa si comutativa.axyzxy-xyzxy-xyz-xy-xyzxyz-xy-yz-zxxyz xyzxyz-yzxyz-yz-xyz-yzxyz-xy-yz-zxxyzxyzxyzbxyxy-x
yyx-yxyx2.Fie M si N doua multimi, o lege de compozitie pe M, o lege de compozitie pe N si fMN o functie surjectiva astfel incat fxyfxfy, x, y M.aDaca legea de compozitie este asociativa comutativa atunci legea de compozitie este asociativa comutativa.bFunctia fZZ, fx1-x are proprietatea fxyfxfy, x, y Zunde xy este produsul uzual in Z, iar este compunerea circulara. aFie u, v, N. f surjectiva x, y, z M a. i. ufx, vfy, fz.uvfxfyfxyfyxfyfxvu uvfxfyfzfxyfzfxyz fxyzfxfyzfxfyfzuvbx, y Z fxfyfxfy-fxfy1-x1-y-1-x1-y 2-x-y-1yx-xy1-xyfxy.3.Fie d un numar intreg liber de patrate siaH este o parte stabila a lui M2Q in raport cu inmultirea matricelor.b matrice AH este inversabila in raport cu operatia indusa.aFie A, B H,aaaaaadbba Q, baabaaaba Qdaca AB Haaa0 sau baa0.Pp. aaa0 si baa0xaa si yba sol a sistd este liber de ... Download